Et pot tocar la loteria de Nadal diversos cops?

Xavier Bardina (U. Autònoma de Barcelona) Una de les idees bàsiques en Estadística és la idea de versemblança. Sovint a partir de les dades volem decidir si una hipòtesi que tenim és versemblant o no. Per contrastar-ho una opció és mirar com de probable seria obtenir unes dades com aquelles si fos certa aquesta hipòtesi.
Veurem tot seguit un exemple de situació en la que podem intentar decidir si és o no versemblant. És habitual trobar persones acusades de corrupció que afirmen que han obtingut la seva fortuna jugant a la loteria. Buscant per internet és fàcil trobar en pàgines de diaris textos com el següent: “El presumpte cervell de la trama de corrupció municipal descoberta a …, ha declarat avui davant del jutge instructor del cas que li ha tocat la loteria de Nadal en diverses ocasions durant els darrers quinze anys, tot i que no recorda exactament quantes”.
Anem ara a fer de jutges. Volem decidir si aquesta afirmació és versemblant o no i per fer-ho calcularem quina és la probabilitat que a una mateixa persona li toqui la loteria de Nadal diverses vegades en quinze anys.
Comencem analitzant el sorteig. En total es posen a la venda 100.000 números diferents. El preu del bitllet és de 200 euros, però el més habitual és comprar un dècim de 20 euros. Un total de 15.304 números obtenen algun tipus de premi, la majoria corresponen al reintegrament i a premis menors. Podríem considerar com a premis importants el primer premi, 400.000 euros per cada 20 euros jugats, el segon premi, 125.000 euros, el tercer 50.000 euros i els dos quarts 20.000 euros. Els cinquens premis són de 6.000 euros per cada 20 euros jugats i per tant ja seria molt difícil justificar un increment important d’ingressos per aquest concepte.
Així doncs hem vist que dels 100.000 números només n’hi ha 5 amb els que s’obté un premi important. Per tant, si juguem a un sol número, tenint en compte que tots els números tenen la mateixa probabilitat de sortir, la probabilitat d’obtenir un d’aquests premis importants serà de només un 0.005%. O, el que és el mateix, la probabilitat que no ens toqui cap d’aquests premis és del 99.995%.
Com que suposarem que el nostre amic, acusat de corrupció, no juga a un sol número aquestes probabilitats seran més gran. Serem generosos i suposarem, que ja és molt suposar, que juga a 100 números diferents. Aleshores, fent un petit càlcul, la probabilitat que li toqui almenys un número important és lleugerament inferior a un 0.5%. Dit d’una altra manera, si tothom jugués 100 números a només 5 de cada 1.000 persones els tocaria algun premi dels grossos.
Però aquesta persona en qüestió afirmava davant el jutge que li havia tocat la loteria en diverses ocasions, i que no recordava exactament quantes, en els darrers quinze anys. Si no recorda quants cops li ha tocat és de suposar que li ha tocat tres o més vegades.
Si suposem també que cada any hagués jugat a 100 números diferents, la probabilitat que li toqués en tres o més ocasions seria de només un 0.0054%
En resum, hem calculat que si una persona juga a la loteria de Nadal 100 números diferents cada any durant 15 anys, la probabilitat que en tres o més ocasions li toqui un premi important és de només un 0.0054%, és a dir, la probabilitat que això no passi és del 99.9946%.
Per tant haurem de concloure que és molt poc versemblant que una personi tingui molta sort i li toqui diverses vegades la loteria de Nadal. Si fem de jutges decidirem que aquesta afirmació és falsa, pot ser que ens equivoquem, però com deia Samuel Butler la vida és l’art d’arribar a conclusions a partir d’evidències insuficients.

Galeria | Aquesta entrada s'ha publicat en L'Estadística feta fàcil i etiquetada amb , , . Afegiu a les adreces d'interès l'enllaç permanent.

Una resposta a Et pot tocar la loteria de Nadal diversos cops?

  1. Josep Maria Manresa ha dit:

    Felicitats pel comentari, molt didàctic i divulgatiu. No obstant, s’ha d’anar amb compte en la generalització sense matisos d’aquestes ,conclusions, com per exemple en el que s’anomena “la fal·làcia del fiscal”, que te a veure amb situacions en què un fiscal es basa en la baixa probabilitat de que es doni un fet per atzar i per tant decantar la balança per a què un jutge o jurat declari a un reu culpable..
    És tristement famós el cas de Sally Clark, condemnada a cadena pepètua per l’acusació de matar al seu fill, basant-se en que se li havien mort dos nounats per mont súbita. El fiscal va fonamentar-se en què era molt poc probable que això pasés.
    Posteriorment es va revisar la causa i va ser absolta, però això noi va impedir que la mare es suïcides en no poder superar la pèrdua dels seus fills i el linxament social
    Això va passar el 2003, no fa gaires anys
    Us animo a que en feu un article sobre aquest tema´
    El trobo molt interesant

Deixa un comentari

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Esteu comentant fent servir el compte WordPress.com. Log Out / Canvia )

Twitter picture

Esteu comentant fent servir el compte Twitter. Log Out / Canvia )

Facebook photo

Esteu comentant fent servir el compte Facebook. Log Out / Canvia )

Google+ photo

Esteu comentant fent servir el compte Google+. Log Out / Canvia )

Connecting to %s